[BOJ] 백준 1904번 : 01타일 (JAVA)

문제

지원이에게 2진 수열을 가르쳐 주기 위해, 지원이 아버지는 그에게 타일들을 선물해주셨다. 그리고 이 각각의 타일들은 0 또는 1이 쓰여 있는 낱장의 타일들이다.

 

어느 날 짓궂은 동주가 지원이의 공부를 방해하기 위해 0이 쓰여진 낱장의 타일들을 붙여서 한 쌍으로 이루어진 00 타일들을 만들었다. 결국 현재 1 하나만으로 이루어진 타일 또는 0타일을 두 개 붙인 한 쌍의 00타일들만이 남게 되었다.

 

그러므로 지원이는 타일로 더 이상 크기가 N인 모든 2진 수열을 만들 수 없게 되었다. 예를 들어, N=1일 때 1만 만들 수 있고, N=2일 때는 00, 11을 만들 수 있다. (01, 10은 만들 수 없게 되었다.) 또한 N=4일 때는 0011, 0000, 1001, 1100, 1111 등 총 5개의 2진 수열을 만들 수 있다.

 

우리의 목표는 N이 주어졌을 때 지원이가 만들 수 있는 모든 가짓수를 세는 것이다. 단 타일들은 무한히 많은 것으로 가정하자.

 

 

입력

첫 번째 줄에 자연수 N이 주어진다.(N ≤ 1,000,000)

 

 

출력

첫 번째 줄에 지원이가 만들 수 있는 길이가 N인 모든 2진 수열의 개수를 15746으로 나눈 나머지를 출력한다.

 

 

풀이

다이나믹 프로그래밍으로 해결할 수 있는 문제였습니다.

 

먼저, N = 1, 2, ... 5 까지 나열해 보면서 생각해보겠습니다.

 

N = 1 ) 1

N = 2 ) 00, 11

N = 3 ) 001, 111, 100

N = 4 ) 0000, 1100, 0011, 1111, 1001

N = 5 ) 00001, 11001, 00111, 11111, 10011, 00100, 11100, 10000

 

위와 같이 1, 2, 3, 5, 8, ... 개로 증가합니다.

눈치 빠르신 분은 여기서 이 규칙이 피보나치 수열이 아닐까? 라는 생각을 하실 수도 있을 것입니다.

 

저 또한, 그렇게 생각했고 실제로 위 문제는 피보나치 수열의 점화식을 이용하여 풀면 되는 문제였습니다.

이제, 왜 타일의 개수가 피보나치 수열의 형태로 증가하는지 알아보겠습니다.

 

먼저, N = 1과 N = 2는 원래 알고 있는 값이라 가정하고 N = 3 부터 전개해 보겠습니다.

N에는 00타일과 1타일을 이어붙일 수 있는데, (N - 1)번째에서는 00타일을 사용할 수 없습니다.

따라서, (N - 2)번째에서 00타일을 사용하여 이어붙여야 합니다.

현재, N = 1은 "1"이므로 "100" 혹은 "001"을 타일로 사용할 수 있습니다.

 

다음으로, (N - 1)번째에서 1타일만을 사용하여 이어붙이면 되는데, 100, 111, 001이 있습니다.

위에서 "100"은 이미 타일로 사용하였으므로 중복되는 "100"을 제외하여 "111"과 "001"을 새롭게 타일로 사용할 수 있게 되었습니다. 또는, 중복되는 "001"을 제외하고 "111"과 "100"을 사용하여도 무방합니다.

 

여기서 중요한 점은 중복되는 값은 배제하는 것이었습니다.

그리고 그 방법은 어렵지 않습니다. 이어붙이는 방향을 다르게 하는 것이죠.

 

00타일을 이어붙일 때는 맨 뒤로 이어붙이고, 1타일을 이어붙일 때는 맨 앞으로 이어붙이는 것입니다.

이렇게 하면, 중복을 배제할 수 있고 dp[i] = dp[i - 2] + dp[i - 1] 이라는 식을 도출할 수 있습니다.

 

위 점화식은 피보나치 식이기때문에 전형적인 동적 계획법 코드를 사용하시면 됩니다.

 

 

아래는 위 과정을 정리한 소스코드입니다.

 

 

소스코드

 

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